کتاب اصول آنالیز حقیقی اثر ربرت جی. بارتل

 درباره‌ی کتاب اصول آنالیز حقیقی

مطالب تمام کتاب اصول آنالیز حقیقی بیش از آن است که معمولاً در یک سال تدریس شود و اساتید احتمالاً می‌توانند در برخی بخش ها به اختصار بپردازند. از طرفی داشتن مطالب اضافی جهت مراجعات آتی برای دانشجو مفید است. در این کتاب بیشتر مباحثی که معمولاً در «حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته» گفته می‌شود مطرح شده‌اند. استثنای اصلی مبحث روی خم، انتگرال رویه و قضیه‌ی استوکس است؛ این مباحث مطرح نشده‌اند. زیرا بحث شهودی آنها بحق جزو حساب دیفرانسیل و انتگرال است و بحثی دقیق که مفید باشد، نسبتاً طولانی است.

بستگی منطقی بخش‌های مختلف کتاب به یکدیگر، با نموداری در مقدمه‌ی کتاب نشان داده شده است. خط پیوسته در این نمودار نشان دهنده‌ی بستگی آن با بخش‌های قبلی و خط نقطه‌چین بیانگر بستگی کمتری است.

تمام تعاریف، قضایا، نتایج، لمها و غیره بر طبق شماره‌ی بخش متوالیاً شماره گذاری شده‌اند و قضایای مهم‌تر، هرگاه اسم مناسبی به نظر رسیده است، نامگذاری شده‌اند. برهان‌ها در متن با واژه‌ی برهان شروع و با علامت مربع ختم شده‌اند.

هراندازه دراهمیت پروژه‌ها و تمارین تاکید شود بجاست و فقط با تلاشی پیگیرانه و مجدانه در حل آنها بر مطالب این کتاب می‌توان تسلط یافت. در پروژه‌ها طی سلسله‌ی مرتبطی از تمرین‌ها مطالب ویژه‌ای مورد مطالعه قرار می‌گیرد که هدف از آنها چشاندن شیرینی و رنج تحقیق در ریاضیات است.

بخشی از متن کتاب اصول آنالیز حقیقی

توابع یک متغیره

اکنون بررسی مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری توابع را آغاز می‌کنیم. برای این کار مناسب است ابتدا توابع یک متغیره را مطرح کنیم. اگر این فصل‌ها را مقایسه کنید خواهید دید که طرح مطالب در حالت چند متغیره به آنچه اینجا خواهیم آورد، شباهت کامل دارد، جز آنکه در آنجا با پیچیدگی‌هایی مواجه خواهیم شد. علاوه براین چون در حالت کلی از نتایج حالت یک متغیره استفاده می‌شود، بهتر می‌دانیم که قبلاً این حالت مورد بررسی قرار گیرد.

در بخش‌های 27 و 28 مشتق تابع تعریف شده در یک فاصله‌ی حقیقی را معرفی می‌کنیم و قضیه‌ی مهم مقدار میانگین و برخی از نتایج آن را اثبات می‌نماییم. در بخش 29 انتگرال ریمان (وریمان-استیلنیس) توابع کراندار را در فاصله‌ی [a,b] تعریف خواهیم کرد. خواص اساسی انتگرال در این بخش و بخش‌های 30 و 31 مطرح خواهند شد. در دو بخش آخر به بحث در انتگرال‌های ناسره و بی‌پایان می‌پردازیم.نتایجی که در این دو بخش به دست می‌آوریم در بسیاری از کاربردها اهمیت دارند، اما در این کتاب از این نتایج خیلی کم استفاده خواهیم کرد.

کتاب اصول آنالیز حقیقی تالیف ربرت جی بارتل و ترجمه ی جعفر زعفرانی توسط مرکز نشر دانشگاهی به چاپ رسیده است.

فهرست

پیشگفتار مؤلف

مقدمه. نگاهی اجمالی به نظریه‌ی مجموعه‌ها

1_ اعداد حقیقی

2_ توپولوژی فضاهای دکارتی

3_ همگرایی

4_ توابع پیوسته

5_ توابع یک متغیره

6_سری‌های بی‌پایان

7_مشتق‌گیری درR به توان P

8_انتگرال‌گیری در R به توان P

• نویسنده: ربرت جی بارتل
• مترجم: جعفر زعفرانی
• انتشارات: مرکز نشر دانشگاهی