کتاب یکتا حسابان دوازدهم [12] رشادت مبتکران

برشی از متن کتاب

مسائل بهینه‌سازی

در مسائل بهینه‌سازی ماکزیمم و مینیمم مطلق یک عبارت را تحت شرایط اولیه پیدا می‌کنیم.

در این گونه مسائل با توجه به فرضیات مسئله ابتدا متغیر اضافه را حذف کرده و سپس تابع مورد بحث را برحسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم و با توجه به مبحث اکسترمم مطلق، به تعیین آن تابع می‌پردازیم.

مثال 8. عدد 20 را به دو قسمت چنان تقسیم کنید که حاصل‌ضرب آن‌ها ماکزیمم شود.

حل : روش اول: فرض کنید دو قسمت x و y باشد که x + y = 20 می‌باشد. تابع حاصل‌ضرب xy می‌باشد که با توجه به فرض مسئله y = 20 – x می‌باشد، پس:

P = xy = x (20 – x) = 20 x – x2

حال برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع از عبارت p مشتق می‌گیریم:

P’ = 20 – 2x = 0 → x = 10 → y = 20 – 10 = 10

پس مقدارmax  حاصل‌ضرب برابر است با:

P max = xy = 10 × 10 = 100

روش دوم:

نکته: اگر جمع چند پارامتر مقدار ثابتی باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که همه پارامترها با هم برابر باشند.

از آنجا که x + y = 20 می‌باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که x = y = 20. پس:

P max = xy = 102 = 100

نکته: اگر ضرب چند متغیر نامنفی مقداری ثابت باشد، حاصل جمع آنها وقتی مینیمم است که همه با هم برابر باشند.

تست 10. اگر مساحت مستطیلی برابر 20 باشد، مینیمم مقدار محیط آن کدام است؟

1)                    2)   2              3) 4                     4)

پاسخ: گزینه 3

روش اول: فرض کنید ضلع‌های مستطیل x و y است. پس x × y = 20. پس تابع محیط را بر حسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم:

P = 2 (x + y) → p = 2 x +

P’ = 2 –   = 0 → 2×2 = 40 → x2 = 20 → x =   → y =   =

P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4

روش دوم: طبق نکته فوق، حاصل ضرب دو مقدار x و y ثابت است (xy = 20) پس جمع آنها وقتی مینیمم است که x = y =   پس مینیمم مقدار محیط مستطیل برابر است با:

P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4

مثال 9. استوانه قائمی در کره‌ای به شعاع 4 محاط شده است. مقدار ارتفاع استوانه چقدر باشد تا حجم استوانه ماکزیمم شود؟

حل: ابتدا تابع حجم استوانه را می‌نویسیم:  V = πr2h

حال باید یکی از پارامترهای مسئله حذف شود که با استفاده از رابطه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه، داریم:

( )2 + r2 = 42

r2 = 16 –

پس تابع حجم استوانه بر حسب h به صورت زیر می‌باشد:

V = πr2h = π (16 –  ) h = π (16h –  )

برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع، ریشه مشتق آن را تعیین می‌کنیم:

V’ = π (16 –  ) = 0 →   = 16 → h2 =   → h =

مسائل بهینه‌سازی

در مسائل بهینه‌سازی ماکزیمم و مینیمم مطلق یک عبارت را تحت شرایط اولیه پیدا می‌کنیم.

در این گونه مسائل با توجه به فرضیات مسئله ابتدا متغیر اضافه را حذف کرده و سپس تابع مورد بحث را برحسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم و با توجه به مبحث اکسترمم مطلق، به تعیین آن تابع می‌پردازیم.

مثال 8. عدد 20 را به دو قسمت چنان تقسیم کنید که حاصل‌ضرب آن‌ها ماکزیمم شود.

حل : روش اول: فرض کنید دو قسمت x و y باشد که x + y = 20 می‌باشد. تابع حاصل‌ضرب xy می‌باشد که با توجه به فرض مسئله y = 20 – x می‌باشد، پس:

P = xy = x (20 – x) = 20 x – x2

حال برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع از عبارت p مشتق می‌گیریم:

P’ = 20 – 2x = 0 → x = 10 → y = 20 – 10 = 10

پس مقدارmax  حاصل‌ضرب برابر است با:

P max = xy = 10 × 10 = 100

روش دوم:

نکته: اگر جمع چند پارامتر مقدار ثابتی باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که همه پارامترها با هم برابر باشند.

از آنجا که x + y = 20 می‌باشد، حاصل‌ضرب آن‌ها وقتی ماکزیمم است که x = y = 20. پس:

P max = xy = 102 = 100

نکته: اگر ضرب چند متغیر نامنفی مقداری ثابت باشد، حاصل جمع آنها وقتی مینیمم است که همه با هم برابر باشند.

تست 10. اگر مساحت مستطیلی برابر 20 باشد، مینیمم مقدار محیط آن کدام است؟

1)                    2)   2              3) 4                     4)

پاسخ: گزینه 3

روش اول: فرض کنید ضلع‌های مستطیل x و y است. پس x × y = 20. پس تابع محیط را بر حسب یک پارامتر مرتب می‌کنیم:

P = 2 (x + y) → p = 2 x +

P’ = 2 –   = 0 → 2×2 = 40 → x2 = 20 → x =   → y =   =

P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4

روش دوم: طبق نکته فوق، حاصل ضرب دو مقدار x و y ثابت است (xy = 20) پس جمع آنها وقتی مینیمم است که x = y =   پس مینیمم مقدار محیط مستطیل برابر است با:

P min = 2 (x + y) = 2 (   +  ) = 4

مثال 9. استوانه قائمی در کره‌ای به شعاع 4 محاط شده است. مقدار ارتفاع استوانه چقدر باشد تا حجم استوانه ماکزیمم شود؟

حل: ابتدا تابع حجم استوانه را می‌نویسیم:  V = πr2h

حال باید یکی از پارامترهای مسئله حذف شود که با استفاده از رابطه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه، داریم:

( )2 + r2 = 42

r2 = 16 –

پس تابع حجم استوانه بر حسب h به صورت زیر می‌باشد:

V = πr2h = π (16 –  ) h = π (16h –  )

برای تعیین مقدار ماکزیمم تابع، ریشه مشتق آن را تعیین می‌کنیم:

V’ = π (16 –  ) = 0 →   = 16 → h2 =   → h =