کتاب حل معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها (کرایه چیان)

درباره‌ی کتاب معادلات دیفرانسل اصغر کرایه چیان

کتاب معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن ها نوشته ی دکتر اصغر کرایه چیان توسط انتشارات دانشگاه فردوسی به چاپ رسیده است.
این کتاب حاصل تلاش چند ساله ی "دکتر اصغر کرایه چیان" می باشد که با تدوین جزوات درسی و گسترش آن ها، یک منبع عالی و کاربردی جهت رفع نیازهای درسی دانشجویان در رشته های علوم، مهندسی و رشته هایی مانند اقتصاد و پزشکی فراهم آورده است. این دانشجویان در عمل، هم با سیستم متریک و هم با سیستم غیر متریک سر و کار خواهند داشت، از این رو تمرین ها و مثال های کتاب طوری انتخاب شده‌اند که دانشجویان با هر دو سیستم آشنایی کافی پیدا کنند و از این بابت دچار محدودیت نباشند. در کتاب پیش رو سعی شده است که ضمن نشان دادن روش های مختلف حل معادلات دیفرانسیل، کاربردهای گوناگون این معادلات نیز مورد بررسی قرار گیرد تا دانشجویان بتوانند درک بهتری از رابطه ی معادلات دیفرانسیل با مسائل واقعی زندگی پیدا کنند. علاوه بر این در اثر حاضر به جنبه‌هایی از تئوری معادلات دیفرانسیل در حدی که برای دانشجویان کارشناسی قابل درک باشد نیز، توجه شده است. فصل های این کتاب را باید به صورت متوالی دنبال کرد و حذف یک فصل بدون لطمه زدن به تداوم مطالب امکان پذیر نیست. طبق تجربه، همه ی مطالب موجود در کتاب را می توان در یک ترم با هفته ای سه ساعت تدریس و یک ساعت تمرین پوشش داد.
کتاب "معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن ها" مشتمل بر هفت فصل می باشد:
1- مفاهیم اولیه 2- معادلات دیفرانسیل مرتبه اول 3- معادلات دیفرانسیل خطی 4- جواب های به صورت سری معادلات خطی مرتبه دوم 5- توابع خاص 6- دستگاه معادلات دیفرانسیل 7- تبدیلات لاپلاس
کتاب معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن ها نوشته ی دکتر اصغر کرایه چیان توسط انتشارات دانشگاه فردوسی به چاپ رسیده است.

بخشی از کتاب معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها نگارش کرایه چیان

فصل 1: مفاهیم اولیه
مقدمه و تعاریف:
گاهی در رشته‌ های مختلف علوم، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و غیره ضرورت پیدا می ‌کند که برای بیان مسئله فرمول ریاضی ساخته شود. اغلب این مدل های ریاضی معادلاتی شامل یک تابع مجهول و مشتق های توابع نسبت به متغیرهای مستقل هستند. چنین معادلاتی را معادلات دیفرانسیل می ‌نامند. هدف این کتاب ارائه روش هایی برای حل معادلات است. یعنی یافتن تابعی که در معادله صدق کند. به مثال زیر توجه کنید:
مثال 1- جسمی به جرم m از ارتفاعی از حالت سکون سقوط می کند. در صورتی که مقاومت هوا در هر لحظه متناسب با سرعت جسم در آن لحظه باشد، سرعت را به صورت تابعی از زمان به دست آورید. معادله حرکت این جسم را نیز تعیین کنید.
حل - از قانون دوم نیوتن، F=ma برای نوشتن مدل ریاضی مسئله استفاده می کنیم. اگر v(t) سرعت جسم در لحظه t باشد ، برآیند نیروهای مؤثر بر جسم برابر است با:
نیروی وزن - نیروی مقاومت هوا =F
یعنی
M dv / dt = mg - kv
یا
dv / dt + k / m v = g
معادله 1، یک معادله دیفرانسیل است که در آن gشتاب گرانشی، kضریب تناسب و v = v (t)تابع مجهول است که باید آن را تعیین نمود. بعداً خواهیم دید که از حل معادله به صورت زیر به دست می آید:
v (t) = ce - k / m t + mg / k
که در آن c یک ثابت دلخواه است. این ثابت را با استفاده از شرایط اولیه مسئله پیدا می کنیم. از آن جایی که در لحظه t= 0 داریم 0 v=یا به عبارت دیگر v (0) = 0 پس:
0 = c + mg / k
یا
C = - mg / k
بنابراین
V (t) = mg / k ( 1 - e - k / m t)
برای به دست اوردن معادله ی حرکت، قرار می دهیم v = dx / dt که در آن r (t) مسافت طی شده توسط جسم تا لحظه ی t است. پس
Dx / dt = mg / k ( 1 - e - k/m t)

فصل 2: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
طبقه بندی معادلات مرتبه ی اول:
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول که برای آنها راه حل می توان ارائه نمود به چهار دسته کلی به صورت زیر طبقه بندی می شوند:
معادلات جداشدنی، معادلات همگن، معادلات کامل، معادلات خطی.
اگر معادله مرتبه اولی به هیچ کدام از چهار دسته بالا تعلق نداشته باشد گاهی می توان با یک تعویض مناسب آن را به یکی از این چهار نوع معادله تبدیل نمود. اکنون به مطالعه هر یک از معادلات فوق می پردازیم.
فصل 3: معادلات دیفرانسیل خطی
مقدمه:
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و کاربرد آنها را مورد بحث قرار دادیم اما اغلب در رشته‌ های علوم و مهندسی با معادلات مرتبه دوم یا مرتبه های بالاتر مواجه می ‌شویم که این معادلات خطی نیز هستند. در این فصل معادلات خطی به ویژه معادلات خطی مرتبه دوم را که از اهمیت بیش تری برخوردار هستند مورد مطالعه قرار می ‌دهیم. ابتدا اساسی‌ترین قضیه را در مورد معادلات مرتبه دوم بیان می‌کنیم. اثبات این قضیه را می‌توان در کتاب های نظریه معادلات دیفرانسیل یافت.

• نویسنده: دکتر اصغر کرایه چیان 
• انتشارات: رواق مهر