کتاب آنالیز حقیقی | رویدن

معرفی کتاب آنالیز حقیقی

آنالیز ریاضی که آنالیز حقیقی بخشی از آن است، شاخه ای از ریاضی است که برای انجام مطالعات پیشرفته در بخش عمده ای از ریاضی کاربردی از جمله فیزیک نظری، نظریه ی احتمال، آمار ریاضی، پژوهشهای عملیاتی و ... ضروری است. منظور از آنالیز حقیقی، آن بخش هایی از ریاضیات جدید است که ریشه ای در نظریه ی کلاسیک تابع هایی از یک متغیر حقیقی دارند. این بخش ها حاوی خود نظریه ی کلاسیک تابع هایی از یک متغیر حقیقی، اندازه و انتگرال گیری، توپولوژی مجموعه ی نقاط و نظریه ی فضاهای خطی نرم دار است.

بنابراین کتاب حاضر به سه بخش تقسیم شده است. بخش نخست حاوی نظریه ی کلاسیک تابع ها، به انضمام فضاهای کلاسیک باناخ است. بخش دوم اختصاص به توپولوژی عمومی و نظریه ی فضاهای باناخ کلاسیک و بخش سوم به بررسی اندازه و انتگرال گیری مجرد اختصاص دارد. نظریه ی مجموعه ها پایه ی همه ی مطالب این کتاب است و در فصل نخست بعضی از حقایق پایه ای نظریه ی مجموعه ها به اختصار بیان شده است. خواننده هم چنین بحث جالبی درباره ی دستگاه عددهای حقیقی و خاصیت ها و نحوه ی گسترش آن ها را در این اثر خواهد یافت.

در پایان هر مبحث، تعدادی مسئله ی مربوط به همان موضوع در نظر گرفته شده تا دانشجویان قادر باشند،  میزان یادگیری خود را از مطالب بیان شده بسنجند؛ همین طور می توانند از واژه نامه ای که در انتهای کتاب آمده است، استفاده ی کافی را ببرند.

کتاب "آنالیز حقیقی" مشتمل بر پانزده فصل می باشد:

1- نظریه مجموعه ها 2- دستگاه عددهای حقیقی 3- اندازه ی لبگ 4- انتگرال لبگ 5- مشتق گیری و انتگرال گیری 6- فضاهای کلاسیک باناخ 7- فضاهای متریک 8- فضاهای توپولوژیک 9- فضاهای فشرده 10- فضاهای باناخ 11- اندازه و انتگرال گیری 12- اندازه و اندازه ی بیرونی 13- انتگرال دانیل 14- اندازه و توپولوژی 15- نگاشتهای فضاهای اندازه

برشی از متن کتاب آنالیز حقیقی | رویدن

 فصل اول: نظریه مجموعه ها می توان بخش بزرگی از ریاضیات را بر پایه ی این نظریه قرار داد، ولی متأسفانه خود نظریه مجموعه ها برعکس آنچه فرگه و راسل تصور کرده اند چندان ساده و طبیعی نیست، زیرا به زودی معلوم شد که به کار بردن بی قید و شرط نظریه مجموعه ها منجر به تناقضاتی می شود که برای احتراز از آن ها باید با استفاده از تدابیر گوناگون دقت زیادی در گسترش این نظریه به عمل آید.

فصل دوم: دستگاه عددهای حقیقی یکی از شیوه های بررسی عددهای حقیقی تعریف آن ها با بریدگیهای د دکیند عددهای گویاست. اعداد گویا نیز به نوبه ی خود بر حسب عددهای طبیعی تعریف می شوند. چنین برنامه ای، ساختمان زیبای عددهای حقیقی را با استفاده از مفهوم های ابتدایی و نظریه ی مجموعه ها می دهد. در اینجا خود را درگیر ساختمان عددهای حقیقی نمی سازیم، بلکه فرض می کنیم که این ساختمان قبلأ داده شده و فهرستی از اصلهای موضوع را برای آن ها بیان می کنیم.  

فصل سوم: اندازه ی لبگ درازی (i)L هر فاصله ی i طبق معمول با تفاضل طول های دو سر آن فاصله تعریف می شود. درازی، مثالی است از یک تابع مجموعه، یعنی، تابعی که به هر مجموعه ی یک دسته، یک عدد حقیقی گسترش یافته مربوط می کند. در مورد درازی، دامنه، دسته ی همه ی فاصله هاست. میخواهیم مفهوم درازی را برای مجموعه هایی پیچیده تر از فاصله تعمیم دهیم. برای مثال می توانیم، درازی یک مجموعه ی باز را به شکل مجموع درازی های فاصله های باز تشکیل دهنده ی آن تعریف کنیم.

فصل چهارم: انتگرال لبگ گیریم f  یک تابع کراندار است که روی (b،a) تعریف شده است. اگرf   روی (b،a) انتگرال پذیر ریمن باشد، آن گاه f اندازه پذیر است و داریم: R گزاره ی بالا نشان می دهد که انتگرال لبگ در واقع تعمیم انتگرال ریمن است.  

فصل پنجم: مشتق گیری و انتگرال گیری چه هنگامی برابری های زیر برقرارند:

1. 2.

بنا بر نظریه ی انتگرال گیری ریمن، می دانیم رابطه ی دوم هنگامی برقرار است که x، یک نقطه ی پیوستگی f باشد. در اینجا نشان خواهیم داد که این رابطه در حالت کلی تقریبأ همه جا برقرار است. از این رو مشتق گیری، وارون عمل انتگرال گیری لبگ است. ولی پاسخ به پرسش نخست دشوارتر است، حتی در مورد انتگرال لبگ نیز این برابری تنها در مورد رده ها ی خاص تابع ها برقرار است که آن ها را مشخص خواهیم ساخت.

فصل ششم: فضاهای کلاسیک باناخ یک فضای خطی نرم دار، کامل گفته می شود هرگاه هر دنباله ی کشی در این فضا همگرا باشد، یعنی برای هر دنباله ی کشی    یک عنصر f متعلق این فضا وجود داشته باشد، به گونه ای که f     . هر فضای خطی نرم دار کامل ، فضای باناخ به نامیده می شود.  

فصل هفتم: فضاهای متریک دستگاه عددهای حقیقی دارای دو نوع خاصیت است. نوع اول شامل خاصیت های جبری مربوط به جمع و ضرب و غیره است. نوع  دوم خاصیت های مربوط به مفهوم دوری بین دو عدد و مفهوم حد است. خاصیت های نوع اخیر را خاصیت های توپولوژیکی یا متریکی می نامند.

فصل هشتم: فضاهای توپولوژیک در این فصل فضاهایی را مورد مطالعه قرار می دهیم که مفهوم مجموعه ی باز در آن ها بنیادی است و سایر مفاهیم بر حسب آن تعریف می شوند. این فضاها را فضاهای توپولوژیک می نامند و بسیار کلی تر از فضاهای متریک هستند. دراینجا شاید این سؤال پیش آید که چرا به مطالعه ی فضاهای متریک اکتفا نمی کنیم؟ درست است که فضاهای متریک ساده تر هستند، ولی مثال هایی از فضاهای توابع وجود دارند که در آنها برخی مفاهیم توپولوژیکی دارای معنایی طبیعی است که با مفاهیم توپولوژیکی ناشی از هیچ متریکی که بتوان روی آن فضا تعریف نمود، سازگار نیست.

فصل نهم: فضاهای فشرده بسیاری از خاصیت های فاصله ی (0،1) از قضیه ی هاینه - برل نتیجه می شوند. در اینجا رده ای از فضاهای توپولوژیک را معرفی می کنیم که در آنها نتیجه ی قضیه ی هاینه - برل پابرجاست و نشان می دهیم که بسیاری از خاصیت های فاصله ی (0،1) نیز در این فضاها درست هستند. این فضاها را فشرده می نامیم.

فصل دهم: فضاهای باناخ این فصل بعضی از جنبه های هندسی فضاهای باناخ را تشریح، و فضاهای خطی توپولوژیک به اندازه ای که برای توپولوژی های کم توان و کم توان * در فضاهای باناخ موردنیاز است را بررسی کرده است. قضیه های (هان - باناخ، نمودار بسته، کرانداری یکنواخت، آلااوقلو، کرین میلمن) برخی از ابزارهای عمومی مفید در دسترس آنالیزکارها هستند که به آنها نیز در این فصل اشاره شده است...

تالیف: اچ.ال - رویدن ترجمه: دکتر نوروز ایزددوستدار انتشارات: دانشگاه تهران