کتاب روشهای ریاضی در فیزیک (جلد دوم) | آرفکن

معرفی کتاب روشهای ریاضی در فیزیک (جلد دوم) | آرفکن 

معادلات دیفرانسیل مرتبه ی اول در فیزیک نیز ظاهر می شوند، هر چند که ظهور آن ها نه مانند معادلات دیفرانسیل مرتبه ی دوم فراوان و نه به آن اهمیت است. جواب برخی از انواع مهم ترِ معادلات مرتبه ی اول در این کتاب مورد بحث قرار می ‌گیرد. هم چنین در کتاب حاضر چند روش کلی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی مورد بررسی قرار می گیرد. در جدا سازی متغیرها، معادله ی دیفرانسیل جزئی به دو معادله ی دیفرانسیل معمولی تجزیه می شود که هر یک را می توان با روش "فروبنیوس" حل کرد. با روش جداسازی متغیرها در بخش  3 و 8 آشنا می شویم.

جواب های انتگرالی با بهره گیری از یک تابع گرین، با تکنیک تابع گرین در بخش  7 و 8 روبرو خواهیم شد. این تکنیک در فصل 16 به تفصیل بررسی شده است. با سایر روش های تحلیلی مانند استفاده از تبدیل های انتگرالی و محاسبات عددی به دو روش رونژ_ کوتا و روش پیشگو_ مصحح نیز در بخش های دیگر آشنا خواهیم شد.

کتاب "روش های ریاضی در فیزیک (جلد دوم)" در ده فصل تألیف شده است که در ادامه پس از بیان عناوین اصلی، تعدادی از آن ها را شرح می دهیم.

1- معادلات دیفرانسیل 2- نظریه ی اشتورم _ لیوویل. تابع های متعامد 3- تابع گاما (تابع فاکتوریل) 4- توابع بسل 5- توابع لژاندر 6- توابع خاص 7- سریه فوریه 8- توابع انتگرالی 9- معادلات انتگرالی 10- حساب وردشها

برشی از متن کتاب روشهای ریاضی در فیزیک (جلد دوم) | آرفکن 

فصل اول: معادلات دیفرانسیل تقریباً تمام بخش های بنیادی فیزیک نظری و بسیاری از بخش های پیشرفته ی آن بر حسب معادلات دیفرانسیل فرمول بندی می شوند. معادلاتی که در فیزیک ریاضی مطرح می شوند همگی معادلات دیفرانسیل جزئی اند. برای حل آن ها عبارت است از: تجزیه ی معادله ی دیفرانسیل جزئی n متغیره به n معادله ی دیفرانسیل معمولی. هر گونه جداسازی، یک ثابت جداسازی دلخواه وارد معادله می کند اگر n متغیر داشته باشیم بایدn-1 ثابت وارد کنیم، شرایط حاکم بر وضعیتِ مسئله، این ثابت ها را تعیین می کند.

جداسازی متغیرهای معادله ی لاپلاس در مختصات سهموی نیز به معادله ی بسل می انجامد. باید بگوییم معادله ی بسل از آن جهت که می تواند صورت های گوناگونی به خود بگیرد معادله ای مشهور است. فصل دوم: نظریه ی اشتورم _ لیوویل. تابع های متعامد در این فصل به جای حل معادله ی دیفرانسیل تأکید بیشتر بر تعمیم و درک خواص عمومی جواب هاست. در این بخش توجه روی عملکرد های دیفرانسیلی مرتبه ی دوم کلاسیکی معطوف می باشد.

برای تعمیم نظریه ی عملگر "هرمیتی" به صورتی که در مکانیک کوانتومی مورد نیاز است، ضرورتی ندارد عملگرها حتماً عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه ی دوم باشند و  نیازی هم نیست که حقیقی باشند. عملگرهای هرمیتی یا خود الحاقی سه خاصیت دارند که در فیزیک چه کلاسیکی چه کوانتومی از اهمیت زیادی برخوردارند.

1. ویژه مقدارهای هر عملگر هرمیتی حقیقی اند 2. ویژه تابع های هر عملگر هرمیتی متعامدند 3. ویژه تابع های هر عملگر هرمیتی یک مجموعه ی کامل تشکیل می دهند. فصل سوم: تابع گاما (تابع فاکتوریل) تابع گاما گاه گاه در مسائل فیزیکی نظیر بهنجارش تابع موج های کولنی و محاسبه ی احتمال ها در مکانیک آماری ظاهر می شود. ولی این تابع به طور کلی کمتر از مثلا تابع لژاندر یا تابع بسل کابرد فیزیکی دارد. در عوض اهمیت آن از فوایدش در ایجاد سایر توابع که کابرد مستقیم فیزیکی دارند، سرچشمه می گیرد.

از این روست که تابع گاما، در این فصل بررسی شده است. معمولا برای تابع گاما دست کم سه تعریف متفاوت و مناسب به کار می برند. تابع گاما یکی از رده های کلی توابعی است که هیچ معادله ی دیفرانسیلی با ضرایب کوتاه در آن صدق نمی کند. به ویژه تابع گاما یکی از چند تابع در فیزیک ریاضی است که در هیچ یک از دو معادله ی دیفرانسیل فوق هندسی(5.13) یا فوق هندسی همشار(6.13) صدق نمی کند. فصل چهارم: توابع بسل توابع بسل در مسائل فیزیکی بسیار گوناگون ظاهر می شوند. 

توابع بسل و توابعی که با آن ها ارتباط تنگاتنگی دارند، حوزه ای غنی در آنالیز ریاضی تشکیل می دهند که با بسیاری نمایش ها، خاصیت های سودمند و جالب و روابط متقابل فراوان قرین اند. هر چند توابع بسل عمدتاً به عنوان جواب معادله های دیفرانسیل اهمیت دارند، ولی پرداختن به آن ها از رهیافتی کاملا متفاوت، یعنی با رهیافت تابع مولد بهتر و آموزنده تر خواهد بود.

فصل پنجم: توابع لژاندر چند جمله ای های لژاندر در مباحث فیزیکی و ریاضی بسیار متفاوت ظاهر می شوند: مبدأ این چند جمله ای ها ممکن است به صورت جواب های معادله ی دیفرانسیل لژاندر باشد که در جداسازی متغیرهای معادله ی لاپلاس، معادله ی هلمهولتز و معادلات دیفرانسیل مشابه آن ها در مختصات قطبی کروی بررسی شده اند. این چند جمله ای ها ممکن است به صورت پیامدی از یک فرمول ردریگز وارد شوند.

• مولف: جورج آرفکن
• مترجم: اعظم پورقاضی
• انتشارات: مرکز نشر دانشگاهی