کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم [12] مبتکران

درباره‌ی کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم مبتکران

کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم مبتکران، یکی از بهترین کتاب های کمک درسی ریاضیات گسسته دوازدهم می‌باشد. هدف از تألیف کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم مبتکران، آموزش و ایجاد زمینه تکرار و تمرین مباحث جهت آماده کردن دانش‌آموزان برای موفقیت در امتحانات نهایی، آزمون‌های آزمایشی و البته کنکور سراسری می‌باشد. به همین منظور، هر یک از فصول سه‌گانه به درس‌هایی تقسیم‌بندی شده و مباحث و مفاهیم هر درس، به طور مفصل و جامع تشریح شده‌اند. نحوه آموزش در این قسمت‌ها، شرح مطالب با بیانی ساده و روشن می‌باشد که جهت تفهیم بهتر و یادگیری دقیق و اصولی‌تر از انواع مثال‌های تستی و تشریحی بهره برده است.

با تبیین پاسخ هر مثال، مخاطب را با انواع راه‌حل‌ها و راهبردهای حل مسائل آشنا می‌کند و نکات مهمی را می‌آموزد. تعداد مثال‌های به کار برده همانند حجم متن آموزشی به حد کافی و متناسب با نیاز دانش‌آموز در نظر گرفته شده تا مخاطب با مطالعه آن آگاهی کاملی به تمام مباحث درس بیابد. لازم به ذکر است آموزش‌های کتاب منطبق با توالی مباحث و محتوای کتاب درسی اما در سطحی بالاتر از آن قرار دارد و بنا به ضرورت، گریزی به نکات و مفاهیم مربوط به سال‌های قبل نیز زده شده است. با توجه به نیاز دانش‌آموزان پایه دوازدهم برای کسب آمادگی برای امتحان نهایی، بعد از هر درس‌نامه، سؤالات تشریحی بیان می‌گردد.

پاسخ‌گویی به آنها می‌تواند علاوه بر آشنا کردن مخاطب با انواع نمونه سؤالات، میزان تسلط وی را بر مباحث افزایش داده و موفقیت او را در امتحانات تضمین کند. با وجود پاسخ‌نامه‌های تشریحی که بلافاصله بعد از ارائه سؤالات در دسترس دانش‌آموز قرار گرفته، می‌توان به بررسی درستی یا نادرستی جواب‌ها پرداخت و نقاط ضعف را مشخص نمود. هم‌چنان که ذکر شد، از دیگر اهدافی که در تألیف کتاب مورد نظر بوده، ایجاد آمادگی در دانش‌آموز برای کسب موفقیت در کنکور است. از این‌رو در انتهای هر فصل مجموعه‌ای از سؤالات تستی گنجانده شده است که تلفیقی از سؤالات تألیفی و کنکوری سال‌های گذشته هستند.

سؤالات سطح بالا و دشوار با علامت ستاره مشخص شده‌اند تا دانش‌آموز با آگاهی از این مطلب به پاسخ‌گویی بپردازد و همت و توان معلوماتی خویش را در حل آن به کار گیرد. در انتهای این بخش نیز پاسخ‌نامه تشریحی موجود، علاوه بر یاری دانش‌آموز در تصحیح پاسخ‌هایش، نکات و اطلاعات مهمی در اختیار وی قرار می‌دهد.

---

بخشی از کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم مبتکران

بزرگ‌ترین توان یک عدد اول p در n!

سؤال 68: اگر 3a ∣28!  آن‌گاه بیشترین مقدار ممکن برای a را به دست آورید.

حل: در تجزیه عدد 28!  به عوامل اول، تمامی اعداد اول کوچک‌تر از 28 وجود دارند، یعنی:

28! =   ×   ×   ×  ×  ×  ×   ×  ×

28! = 28 × 27 × … × 2 × 1

از طرفی می‌دانیم:

برای اینکه α2 را به دست آوریم، کافی‌ست ابتدا تعداد مضارب طبیعی عدد 3 که کوچک‌تر از 28 می‌باشند را به دست آوریم که برابر ] = 9 [  است. پس 9 تا مضرب 3 در حاصل ضرب 1 × 2 × … × 28 می‌باشد که هر یک حداقل دارای یک عامل 3 در تجزیه 28!  می‌باشند اما تعداد عوامل 3 بیشتر است زیرا هر یک از اعداد 9 و 18 و 27 حد اقل دو تا عامل 3 دارند، چون بر 33 بخش‌پذیرند، که ] = 3 [   عامل اضافی ایجاد می‌کنند و بالاخره عدد 27 که به تنهایی دارای سه عامل 3 می‌باشد زیرا بر 33 بخش‌پذیر است. پس] = 1  [  عامل دیگر اضافه می‌کند. بنابراین عدد 28! دارای 13 = 1 + 3 + 9 عامل 3 می‌باشد و α2 ≤ 13. پس بیشترین مقدار ش برابر 13 است.

نکته: اگر p عددی اول و n عددی طبیعی باشد، در این صورت تعداد عوامل p در تجزیه n! برابر است با:

[ ] + [ ] + [ ] + …

سؤال 69:

عدد 10! را به عوامل اول تجزیه کنید.

حل: در تجزیه عدد 10! به عواملریال تمامی اعداد اول کوچک‌تر از 10 وجود دارند، یعنی:

10! =   ×   ×   ×

بنابراین تعداد عوامل اعداد 2 و 3 و 5 و 7 را در تجزیه 10! به دست می‌آوریم.

α1 = [ ] + [ ] + [ ] = 8 , α2 = [ ] + [ ] = 4 , α3 = [ ] = 2 , α4 = [   ] = 1

تست 27: عدد 362! بر عدد 7k بخش‌پذیر است. بزرگترین مقدار k کدام است؟

1) 51               2) 58                3) 57               4) 59

پاسخ: گزینه 4 درست است.

طبق صورت سؤال 7k ∣ 362! بیشترین مقدار k را باید بیابیم، پس ابتدا باید تعداد عامل‌های 7 در 362! را به دست آوریم:

[ ] + [ ] + [ ] = 51 + 7 + 1 = 59

بنابراین 362! =   به طوری که q مضرب 7 نیست زیرا تعداد عامل‌های 7 در 362! برابر 59تاست. داریم:

7k ∣  q ⟹ kmax = 59

سؤال 70:

عدد 28! به چند صفر ختم می‌شود؟

حل: برای به وجود آمدن یک صفر در سمت راست یک عدد، کافی است یک عامل 2 و یک عامل 5 در تجزیه عوامل آن عدد موجود باشد. در تجزیه n! طبق نکته 20 بدیهی است که تعداد عوامل 2 از تعداد عوامل 5 بیشتر است... .

کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم، به قلم احسان خیراللهی توسط انتشارات مبتکران به چاپ رسیده است.

فهرست

فهرست کتاب گذرنامه ریاضیات گسسته دوازدهم مبتکران

فصل اول: نظریه اعداد

درس اول: استدلال ریاضی

اثبات مستقیم

مثال نقضر

روش اشباع

برهان خلف

اثبات بازگشتی

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

درس دوم: بخش پذیری

ویژگی‌های بخش پذیری

ترکیب خطی دو عدد صحیح

قضیه تقسیم

افراز اعداد صحیح

اعداد اول

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک

کوچک‌ترین مضرب مشترک

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

درس سوم: رابطه هم‌نهشتی و کاربردهای آن

هم‌نهشتی

ویژگی‌های هم‌نهشتی

قضیه فرما

قضیه اویلر

معادله هم‌نهشتی

آزمون‌های بخش پذیری

تعیین رقم یکان

معادله سیاله خطی

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

فصل دوم: گراف و کاربردهای آن

درس اول: معرفی گراف

گراف ساده

درجه رئوس در گراف

گراف کامل و تهی

گراف‌های یک‌ریخت

دنباله درجات رئوس گراف

گراف منتظم

زیر گراف

مکمل گراف ساده

مسیر

دور

گراف همبند

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

درس دوم: مدل‌سازی با گراف

مجموعه احاطه گر

مجموعه احاطه گر مینیمم و عدد احاطه‌گری

مجموعه احاطه گر مینیمال

کران پایین عدد احاطه گری

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

فصل سوم: ترکیبیات

درس اول: مباحثی در ترکیبیات

اصل اساسی شمارش ( اصل ضرب) تبدیل (ترتیب)

ترکیب

توزیع n شیء یکسان در k حوزه مختلف

تعداد جواب‌های صحیح و نامنفی

مربع‌های لاتین

مربع لاتین چرخشی

دو مربع لاتین متعامد

قطر پراکنده

ساختن دو مربع لاتین متعامد

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

درس دوم: روش‌هایی برای شمارش

اصل شمول و عدم شمول

تعداد توابع

توزیع n شیء مختلف در k مختلف

تعداد توابع یک به یک

تعداد توابع پوشا از A به B (Rf = B)

اصل لانه کبوتری

پرسش‌های تشریحی

پرسش‌های چهارگزینه‌ای

• کتاب آموزش کامل مفاهیم و آزمون
• مولف: احسان خیراللهی
• انتشارات: مبتکران