کتاب آموزش مفهومی هندسه 2 یازدهم [11] مبتکران

کتاب آموزش مفهومی هندسه 2، اثر محمود نصیری برای پایه یازدهم رشته ریاضی‌ و فیزیک، در انتشارات مبتکران به چاپ رسیده است.

کتاب حاضر با در برداشتن مباحث هندسه در کتاب درسی پایه یازدهم، به عنوان منبع آموزشی و کمک درسی به یاری مخاطبان آمده است. محتوای آن بر اساس توالی مباحث کتاب درسی بوده تا هم‌زمان با تدریس دبیر نیز مورد استفاده قرار گیرد. هر یک از مباحث در درس‌نامه‌ها به طور کامل با بیانی ساده و روان، توضیح داده شده‌اند. تعاریف، نکات مهم، اثبات قضایا و ارائه مثال‌های کاربردی به همراه پاسخ‌هایی برای آموزش راهبردهای حل مسئله از دیگر ویژگی‌های بخش‌های آموزشی این اثر محسوب می‌گردند. گفتنی‌ست به منظور یادگیری عمیق نکات مهم و تعاریف، هر یک از آنها در کادرهای جداگانه و با رنگی دیگر متمایز شده‌اند تا توجه مخاطب را بیشتر جلب نمایند. پاسخ مثال‌ها نیز با تشریح تمام جزئیات راه‌حل‌ها و نکات آموزشی آنها تبیین شده است و به این ترتیب آموزشی جامع را صورت داده است. در ادامه تمرین‌هایی با توجه به آموزش‌های ارائه شده، قرار دارد که در سه نوع متفاوت گروه بندی می‌شوند. دسته اول سؤالات و مسائلی در سطح ساده تا متوسط است که از طریق پاسخ دادن به آنها، مباحث و مطالب مرور شوند. دسته دوم سؤالات مفهومی بوده که مهم‌ترین بخش تمرینات به حساب می‌آیند چراکه توانایی مخاطب در جواب دادن به آنها نشان دهنده میزان درک و دریافت وی از آموزش‌ها می‌باشد. مسئله‌های کمتر وپاسخ‌های مفهومی اما کوتاه از ویژگی‌های این تمرینات می‌باشند. گروه سوم نیز شامل سؤالاتی در سطحی فراتر از کتاب درسی بوده تا نیاز دانش‌آموزان علاقه‌مند و سخت‌کوش را نیز پاسخ‌گو باشد که در قالب تمرینات دوره‌ای فصل گنجانده شده‌اند. با وجود تنوع سؤالات به این شکل، دانش‌آموز به تسلط خوبی در هندسه خواهد رسید و جهت امتحانات مدرسه، آزمون‌های آزمایشی و کنکور و... آمادگی مناسبی به دست خواهد آورد. انتهای کتاب نیز جایگاه پاسخ‌نامه‌های تشریحی است که مخاطب را در بررسی درستی یا نادرستی جواب‌هایش یاری می‌نماید. از طریق این قسمت نقاط ضعف احتمالی دانش‌آموز مشخص شده که می‌توان در رفع آنها کوشید.

 

برشی از متن کتاب

روشی در تقسیم یک زاویه به سه زاویه با اندازه‌های مساوی (تثلیث زاویه) یکی از قدیمی‌ترین مسائل هندسه که از دیرباز مورد توجه ریاضی‌دان‌ها بوده است تقسیم یک زاویه به سه زاویه با اندازه‌های برابر است. البته این بستگی به ابزاری دارد که ما در اختیار داریم. خط کشی را که اقلیدس به کار برده است بدون هیچ نشانه و علامتی است، فقط به کمک آن می‌توان خط گذرنده از دو نقطه را رسم کرد. پرگار هم از نظر اقلیدس فروریختنی است، به این معنی که فقط به کمک آن می‌توانیم دایره‌ای به مرکز نقطه مفروضی رسم کنیم که از نقطه مفروض دیگری بگذرد، اگر حتی دهانه این پرگار را تغییر نداده و دایره‌ای به مرکز نقطه‌ای دیگر رسم کنیم نمی‌توان گفت این دایره با دایره قبلی هم‌نهشت است. بنابراین با این دو ابزار که در بالا توصیف کردیم ثابت می‌شود که تثلیث زاویه امکان ندارد. اما امروزه این نوع مسائل فقط از نظر تاریخی بررسی می‌شوند، با توجه به اصول و ویژگی‌هایی که امروزه در هندسه وجود دارند روش‌های مختلفی برای حل چنین مسائلی ارائه می‌شود. اکنون مسئله‌ای را مطرح می‌کنیم که به کمک آن و با ابزاری که تعریف می‌کنیم تثلیث یک زاویه امکان‌پذیر است. نقطه M را در برون دایره C (O , R) چنان در نظر می‌گیریم که اگر قاطعی را از M رسم کنیم تا دایره را در دو نقطه C و D قطع کند، مطابق شکل، MC = R یعنی برابر شعاع دایره باشد از O مرکز دایره به C و D وصل می‌کنیم، اگر m ∠ OMD = α،  m ∠ OCD چرا؟ در نتیجه، m ∠ ODC = 2α بنابراین  m ∠ AOD = 3α چرا؟ از ویژگی زاویه خارجی استفاده کنید. پس ∠ OMD زاویه‌ای است که اندازه‌اش   اندازه ∠ AOD است. اکنون فرض کنید ∠ XOY مفروض است، می‌خواهیم به کمک پرگار و خط‌کشی که فقط دو نشانه دارد، زاویه‌ای رسم کنیم که اندازه‌اش   اندازه ∠ XOY باشد. سعی می‌کنیم تا حدودی برعکس عملیات قبلی را انجام دهیم. ابتدا به مرکز O رأس زاویه، دایره‌ای به شعاع فاصله دو نشانه خط ‌کش رسم می‌کنیم.. نقطه‌های تقاطع این دایره را با ضلع‌های زاویه A و D می‌نامیم. اکنون نوبت استفاده از خط کش مورد نظر است ! فکر می‌کنید چگونه از آن استفاده می‌کنید؟ آنچه از مسئله قبل یاد گرفته‌اید آن است که باید خطی از D چنان بگذرد که اگر دایره را در نقطه‌ای مانند C و خط OA را در نقطه‌ای مانند M قطع کند، MC برابر شعاع دایره باشد. بنابراین یک لبه خط کش را مطابق شکل روی نقطه D قرارداده و خط‌کش را چنان جابه‌جا می‌کنیم که یک نشانه آن مثلاً  E روی دایره و نشانه دیگر F روی خط OA واقع شود. بنابراین OE = EF. اکنون  m ∠ XOY m ∠ DFA =  . چرا؟   تمرین 1 1- روشی دیگر در اثبات عکس قضیه مماس. فرض کنید خط AB = m در H بر دایره C (O, R) مماس باشد، نشان دهید m بر OH عمود است. اگر چنین نباشد یکی از زاویه‌های OHA یا OHB حاده است چرا؟ فرض کنیم، ∠ OHA = α حاده باشد، پس نقطه M روی نیم‌خط HA وجود دارد که  m ∠ OMH = α یعنی OM = OH، اکنون چگونه به تناقض می‌رسید.        

فهرست

  فصل اول. دایره تعریف مماس و قاطع مماس بر دایره نزدیک‌ترین و دورترین نقاط دایره به یک نقطه کمان دایره، اندازه درجه کمان طول کمان، قطاع دایره ویژگی‌هایی از وتر و کمان دو دایره مکان هندسی انواع زاویه‌ها در رابطه با دایره زاویه ظلی زاویه‌های برونی و درونی کاربردها تمرین 1 رابطه‌های طولی در دایره رسم مماس بر دایره ازنقطه‌ای خارج دایره و ویژگی‌ها حالت‌های دو دایره نسبت به هم و مماس مشترک‌ها رسم مماس مشترک دو دایره متخارج دو دایره مماس تمرین 2 چند ضلعی‌های محاطی و محیطی دایره‌های محاطی مثلث زاویه‌های دید و کمان شامل چند ضلعی‌های منتظم محاسبه اندازه ضلع و سهم در nضلعی‌های منتظم محیط دایره مساحت دایره تمرین 3 تمرین4. پرسش‌های مفهومی فصل اول تمرین5. تکمیلی و دوره‌ای فصل اول   فصل دوم. تبدیلات بازتاب تبدیل طولپا کاربردهایی از بازتاب تمرین 6 انتقال، دوران دوران تبدیل همانی ترکیب بازتاب و طولپاها ترکیب k بازتاب موازی و همرس نیم‌دور یا بازتاب مرکزی بازتاب لغزنده - لغزنده تعریه هم‌نهشتی کاربرد تبدیل‌ها تمرین 7 تقارن تقارن‌های n ضلعی منتظم تقارن و تبدیل‌های قابلیت انطباق تمرین 8 تجانس ویژگی‌های تجانس مجانس دایره انبساط و انقباض کاربردهای تجانس تمرین 9 تمرین 10. پرسش‌های مفهومی فصل دوم تمرین 11. مسایل تکمیلی و دوره‌ای فصل دوم   فصل سوم. رابطه‌های طولی در مثلث رابطه‌های طولی در مثلث نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم ‌الزاویه قضیه سینوس‌ها کاربردهایی از قضیه سینوس‌ها رابطه بین شعاع دایره محیطی و ارتفاع قضیه‌هایی در مثلث قائم‌الزاویه قضیه کسینوس‌ها قضیه استوارت قضیه نیم‌سازهای زاویه‌های مثلث و محاسبه طول نیم‌ساز هرون در محاسبه ارتفاع و مساحت تمرین 12 تمرین 13. پرسش‌های مفهومی فصل سوم تمرین 14. دوره‌ای و تکمیلی فصل سوم   پاسخ تمرین ها پاسخ تمرین‌های فصل اول پاسخ تمرین‌های فصل دوم پاسخ تمرین‌های فصل سوم

• مؤلف: محمود نصیری
• انتشارات: مبتکران